電氣電路設計｜基礎篇
什麼是節點分析法？
2026.06.10
節點分析法（節點電壓法、節點電位法）是一種電路分析技術，以電路中各節點（連接點）的電位作為未知量，運用克希荷夫電流定律（KCL）建立聯立方程進行求解。作為與網目分析法同樣重要的經典電路分析方法，即使是包含眾多電阻和電源的複雜電路，利用該方法也能準確求出各節點的電壓。本文將詳細闡述節點分析法的具體計算步驟。
節點分析法概述
節點分析法是將電路中各節點的電位作為未知量進行定義，並運用克希荷夫電流定律（KCL）來表示流入和流出該節點的電流總和的分析方法。隨著電路複雜程度的增加，逐個追蹤各個電流和電壓的難度也越來越大。透過聚焦於節點間的電位差，可將問題以聯立方程的形式進行簡潔明瞭的處理。在下圖示例中，未知節點被設為“節點V”，並將其電位作為未知量處理。
節點與參考節點（基準節點）
通常會選擇電路中的任意一點作為參考節點（接地）。以該參考節點為參考點，將其他所有節點電壓均定義為相對於該點的相對電位。由於未知量的數量等於“節點數減1”，因此即使電路規模龐大，也可有效縮減聯立方程的規模。
節點分析法的理論基礎
節點分析法主要結合克希荷夫電流定律（KCL）和歐姆定律進行分析。KCL表明流入節點的電流總和等於流出節點的電流總和，而歐姆定律則揭示了電壓與電流之間的線性關係。透過與這些定律相結合，為各節點建立方程並求解聯立方程，即可完成整個電路的分析。
克希荷夫電流定律（KCL）的應用
對於單一節點而言，流入該節點的電流總和與流出該節點的電流總和相等：
\(i_1+i_2+⋯+i_n=0\)
這是節點分析的基本方程。
歐姆定律與阻抗
各支路電流可由元件兩端的電位差除以電阻或阻抗來表示。
電阻R時：
\(i=\displaystyle\frac{(V_1-V_2)}{R}\)
同樣地，電容和電感分別以頻域中的阻抗jωL和1/(jωC)來表示。
節點分析的基本步驟
下面是分階段實施節點分析的步驟及注意事項。即使是大規模的複雜電路，只要按步驟進行，也可高效率地求解未知節點電壓。本節將詳細闡述採用矩陣形式（矩陣法）的計算過程（含中間步驟）。
第一步：選擇參考節點
將電路中的一個節點設為參考節點（接地，0V）。通常，選擇連接元件最多的節點或實際電路中用作接地端子的節點，可減少未知量，使計算更簡單。
參考節點選擇要點
- 選擇連接多個元件（電阻、電源、負載等）的節點更容易建立方程。
- 在同時存在直流電（DC）和交流電（AC）的多電源混合電路中，可能有些複雜，但選擇能使計算後的處理更簡單的節點作為參考點更為有利。
第二步：定義節點電壓
給參考節點以外的各節點分配電壓V1、V2、 ……、 Vn。設總節點數為N時，未知量為（N−1）個。即使是大規模電路，也可明確變數的數量。
第三步：建立各節點的KCL方程
關於各節點
\(Σ\)(流入電流)\(=0\)
對於電阻和阻抗而言，均可運用歐姆定律來表示電流。
-
例如，節點V透過電阻R1連接至電壓源E1（左側節點），並進一步透過電阻R2和R3連接至參考節點G=0V時，針對節點V的KCL方程為：
\(\displaystyle\frac{V-E_1}{R_1}+\displaystyle\frac{V}{R_2}+\displaystyle\frac{V}{R_3}=0\)
中間計算詳細示例
設R1=3Ω、R2=6Ω、R3=9Ω、電壓源E1=12V、未知節點電壓為V，則
\(\displaystyle\frac{V-12}{3}+\displaystyle\frac{V}{6}+\displaystyle\frac{V}{9}=0\)
\(⟹V≈6.55V\)
在這裡基於KCL得出的方程，也稱為“節點方程（節點電壓方程）”。當存在其他節點時，也可以同樣地建立相應的方程，透過聯立求解得出各節點的電位。
第四步：整理為矩陣形式並求解
將聯立方程整理為導納矩陣G與未知節點電壓向量V的乘積GV = I後，便可進行系統性處理。當未知量較多時，可採用電腦的聯立線性方程組求解器（矩陣求解器），只要正確構建矩陣G，即可透過V=G-1I求解。
矩陣法示例
未知量中包含節點電壓和部分電流時的步驟如下：
- 將KCL、電壓源的約束矩陣化
- 透過逆矩陣或高斯消元法等直接的方法求解GV = I
補充說明：對於電壓源較多且回路數較少的平面電路，採用網目分析法可能會使未知量更少。
超節點的處理
當兩個非參考節點之間直接連接獨立電壓源時，僅靠常規的KCL方式是不夠的。這種情況稱為“超節點”，需要添加電壓約束方程。
超節點的概念
在將電壓源連接的兩個節點視為一個“合成節點”並應用KCL時，需同時添加電壓條件：V1−V2=電壓源。
注意電壓源的極性
- 如果將V1−V2=VS或V2−V1=VS處理錯誤，將會導致符號錯誤。
超節點方程和中間計算
例如，節點A和節點B透過電壓源VS相連，且各自對參考節點存在電阻時：
-
KCL（超節點整體）
(V1−0)/R1+(V2−0)/R2+…=0
-
電壓約束
V1−V2=VS
將兩者整合至GV = I中。
節點分析法的實踐案例
下面是一個使用代入了具體數值的電路、分步驟進行節點分析的示例。示例中也給出了在不省略中間計算步驟的情況下，同時將電流和節點電壓納入矩陣解的分析方法。
問題設定
求包含多個電壓源和電阻的電路（如下圖所示）中的節點電壓V1,、V2與支路電流I1、I3。
-
電壓源（相對於0V參考節點）
E1=12V
-
電阻
R1=3Ω, R2=6Ω, R3=9Ω, R4=12Ω, R5=15Ω
具體示例（未知量的選定）
- 節點電壓V1、V2
- 支路電流I1、I3
聯立方程的構建
-
KCL（節點V1）
\(\displaystyle\frac{V_1-E_1}{R_1}+\displaystyle\frac{V_1}{R_2}+\displaystyle\frac{V_1-V_2}{R_3}=0\)
-
KCL（節點V2）
\(\displaystyle\frac{V_2-V_1}{R_3}+\displaystyle\frac{V_2}{R_4}+\displaystyle\frac{V_2}{R_5} =0\)
構建GV = I
\(G=\begin{pmatrix} G_1+G_2+G_3 & -G_3 \\ -G_3 & G_3+G_4+G_5 \end{pmatrix}, V=\begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \end{pmatrix}, I=\begin{pmatrix} G_1 E_1 \\ 0 \end{pmatrix}\)
數值代入及計算
代入數值
\(G=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{11}{18} -\displaystyle\frac{1}{9} \\ -\displaystyle\frac{1}{9} \displaystyle\frac{47}{180} \end{pmatrix}, I=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(V=G^{-1} I ⟹ V_1≈7.09 [V],V_2≈3.02 [V]\)
支路電流計算
\(I_1=\displaystyle\frac{E_1-V_1}{R_1} ≈1.64 [A],I_3=\displaystyle\frac{V_1-V_2}{R_3} ≈0.45 [A]\)
在交流電路和頻域中的擴展應用
節點分析法不僅適用於直流電路，同樣也適用於交流電路。在交流分析中，將電感和電容的頻率依賴性作為阻抗Z來處理，並像直流分析一樣建立節點方程式。
- 電感L：ZL = jωL
- 電容C：ZC = 1/(jωC)
- 阻抗R：ZR = R
複數分析和矩陣形式
複數分析
在正弦波激勵的情況下，各節點電壓用複數表示，KCL用複數阻抗進行表述。其中阻抗Z是指電阻、電感、電容等元件對交流電流呈現的頻率依賴阻力。例如阻抗Z所連接的節點電壓V和VX，其電流可表示為i = (V – VX)/Z。
最終可獲得複數形式的節點電壓。
頻域的矩陣形式
- 定義節點和參考節點
- 確定各R、L、C
- 以複數阻抗來表述KCL
- 整理為Y(ω)V = I(ω)
- 用複綫性代數求解V
透過掃描頻率可獲得伯德圖等頻率回應特性。
節點分析法在非線性大規模電路中的擴展應用
實際的電子電路中，包含多個受控源、二極體和電晶體等非線性元件，甚至在IC晶片內部也存在數十萬至數百萬個節點。節點分析法作為一種通用的計算框架，可擴展應用於眾多場景。
四種受控源的處理
受控源有四種類型：電壓控制電壓源（VCVS）、電流控制電壓源（CCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電流源（CCCS）。它們的輸出取決於電路內部其他節點所測得的電壓或電流。
- VCVS、CCVS（受控電壓源）：在矩陣中添加電壓約束行（CCVS需將控制電流IX作為新變數導入）
- VCCS、CCCS（受控電流源）：在相應導納項中添加係數（VCCS為gm，CCCS為k等）
非線性元件的線性化與反覆運算解法
當電路中含有非線性元件時，I–V特性將不再保持線性比例關係，此時節點方程將變為非線性聯立方程。所以按照如下步驟
- 假設工作點（初始偏置）
- 在這一點上進行泰勒展開，僅採用一次項（線性化）
- 透過牛頓反覆運算法等反覆運算解法進行解的更新
重複①〜③直至解收斂。這樣，即使電路中含有非線性元件，每個步驟仍可按線性節點分析法進行處理。
在模擬工具中實裝（SPICE等）
SPICE類模擬工具會在內部進行節點分析。
- 將各元件展開至節點導納矩陣
- 自動執行上一節所述的線性化和反覆運算步驟
- 輸出收斂後的節點電壓和元件電流
使用者只需繪製電路圖，軟體便會自動為各節點編號，並基於KCL求解方程。
半導體電路設計中的可擴展性
在IC中，雖然寄生電阻、電容和電感的存在會導致節點數量急遽增長，但方法論本身並無本質差異。
- 即使矩陣規模擴大，只要採用疏鬆陣列求解器或反覆運算預處理方法，仍可將計算量控制在線性至準線性範圍內。
- 因此，在保持電晶體級詳細模型的同時，可對整個晶片進行時序分析和電源完整性分析。
與網目分析法的比較
另一種主要分析方法是網目分析法（基於KVL、以回路電流為未知量），需根據電路結構和元件情況區分使用。
適用範圍和選擇指南
- 在回路較少的平面電路中，採用網目分析法可以減少待求未知量，從而簡化計算過程。
- 在電壓源較多的電路或無法平面繪製的立體結構電路中，節點分析法往往步驟更為簡潔且易於處理。
- 在元件數量較多的大規模電路中，由於節點分析法可直接構建矩陣，因此即使電路規模擴大，計算時間也不會急遽增加，能夠利用電腦進行高效處理。
在小規模電路的手工計算中，採用網目分析法與節點分析法相結合的混合分析法同樣行之有效。在這種混合分析法中，首先採用網目分析法求解回路電流，然後利用該結果重新計算各節點的電位。透過先確定電流，可更輕鬆地處理僅憑節點分析法難以應對的電壓源和公共電阻的影響，這一優勢使得即便採用手工計算也很容易保持解的一致性。
結論
節點分析法是一種強大且系統化的電路分析方法。這種方法將各節點電壓作為未知量處理，不僅適用於電阻電路，還適用於採用複數阻抗的交流分析，以及基於線性化、反覆運算法的非線性電路分析。透過施加約束條件，還可處理超節點等特殊情況。SPICE和眾多模擬工具都是基於該原理構建的，是現代電子電路設計中不可或缺的分析方法。深入理解節點分析法，可從容應對大規模複雜電路。
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