電氣電路設計｜基礎篇
什麼是網目分析法
2026.05.27
網目分析法（網目電流法、電路電流法）是一種電路分析的基本方法，該方法將導線互不交叉的平面電路中的每個網目電流設為未知量，並根據克希荷夫定律（KVL）建立聯立方程式，從而求解電壓和電流。它是與節點分析法並列的代表性電路分析方法，尤其能夠高效地求解具有多個電壓源的電路。若能靈活運用這兩種方法，就可以應對更廣泛的電氣網路。接下來我們將詳細介紹網目分析法的原理、基本步驟以及如何將其拓展應用於包含多個電源和受控源的複雜電路。
網目分析法概述
網目分析法的前提是目標電路為平面電路。該方法為每個閉合電路（即網目）分配一個網目電流作為未知量，並根據電路元件、電源和KVL建立聯立方程式。由於大多數示例電路都是平面電路，因此該方法具有適用性強的特點。
與克希荷夫定律的關係
電路分析的基礎是克希荷夫電壓定律（KVL）和克希荷夫電流定律（KCL）。網目分析法主要利用KVL來建立各電路的方程（電路電流方程）。對於每個獨立的閉合路徑（即網目），透過網目電流或網目電流之差來表徵電路元件上的電壓降或電壓升。另外上圖是一個不含電源的電路，僅用於展示KVL的列寫方法，其中i1=0是因為沒有電源。在包含電源E的一般形式中，會變成R∑i1=E等形式，請注意後文示例中討論的是包含電源的情況。例如，在雙網目電路中，若將網目電流命名為I1和I2，那麼對每個電路應用KVL，就可以得到兩個聯立方程式。
網目分析法的優點和適用範圍
網目分析法的優點在於能夠減少未知量的數量，尤其是在包含多個電壓源的平面電路中。這種透過識別閉合電路來設置網目電流的直觀方法，在初學階段或設計初期也是非常容易掌握的分析手段。
另一方面，對於立體佈線等非平面電路，網目的定義會變得困難甚至無法實現。這種情況下，採用節點分析法等其他方法更為合適。
基本步驟和示例
在網目分析法中，需要定義圍繞閉合電路流動的網目電流，並對每個電路應用KVL。以下Step將採用僅包含電阻和電壓源的簡單案例來說明標準分析步驟。
Step 1：分配網目電流
首先確認電路是平面電路，然後為每個基本網目（不包含其他電路的最小閉合路徑）設置任意方向的網目電流。按照慣例，若將所有網目均設為順時針方向，會更易於進行符號管理。
Step 2：對每個網目應用KVL
對每個網目應用KVL，並用網目電流錶示每個元件的電壓降或電壓升。當網目間共有元件時，該元件的電壓用網目電流的差值來表示。
針對每個網目，沿著電路應用KVL。需注意電流是如何流過每個電路元件的，電路內有電壓源時需注意其極性。當兩個網目共有一個電路元件時，需要用兩個網目電流在該元件內流動方向相反時的差值來表示該元件的電壓降。
例如考慮一個具有網目電流I1和I2的雙電路電路。假設第一個電路有電阻R1、R2和電壓源E1，第二個電路與第一個電路共有電阻R2，並另含電阻R3。對每個電路列寫KVL，可以得到如下方程式：
\(R_1 i_1+R_2 (i_1-i_2 )-E_1=0\)
\(R_2 (i_2-i_1 )+R_3 i_2=0\)
具體示例：雙電路電路
- 網目1：電阻R1=10Ω，互電阻R2=20Ω，電壓源E1=5V
- 網目2：互電阻R2=20Ω，電阻R3=30Ω
- 將網目電流i1、i2定義為順時針方向
對網目1應用KVL：
\(R_1 i_1+R_2 (i_1-i_2 )-E_1=0\)
代入數值：
\(10i_1+20(i_1-i_2 )-5=0⟹30i_1-20i_2=5\)（1）
對網目2應用KVL：
\(R_2 (i_2-i_1 )+R_3 i_2=0\)
代入數值：
\(20(i_2-i_1 )+30i_2=0⟹-20i_1+50i_2=0\)（2）
Step 3：確認未知變數的數量
如果存在n個獨立網目，通常可以得到n個網目電流和n個KVL方程。若存在受控源，需要補充約束關係方程式，並確認未知量數量與獨立方程數量一致。
Step 4：求解聯立方程式
求解示例
求解（1）（2）可得：
\(i_1≈0.23A, i_2≈0.091A\)
互電阻R2的電流為i1−i2≈0.14A，電壓降約為2.73V。
對於小規模電路，採用代數消元法和代入法就足夠了，但當網目數量較多時，整合成矩陣形式並運用線性代數方法（或電路模擬器）求解會更高效。
基於矩陣形式的網目分析法
當含有多個電壓源或三個以上的電路時，手動求解所有的聯立方程式將變得十分困難。在這種情況下，將方程式轉換為矩陣形式，並應用標準的線性代數步驟（或電路模擬和軟體），能夠使分析更加系統化。下面將介紹網目分析法中矩陣運算式的建立方法和求解步驟。
矩陣形式的建立
矩陣形式的通用形式如下：
\(Ax=B\)
- A：包含每個網目的等效電阻和共有元件的係數矩陣
- x=(i1, i2, …, in)T：網目電流向量
- B：電壓源等常數項向量
在雙網目示例中，可以進行如下轉換：
方程式：
\(30i_1-20i_2=5\)（1）
\(-20i_1+50i_2=0\)（2）
矩陣形式：
\(\begin{pmatrix} 30 & -20 \\ -20 & 50 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i_1 \\ i_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)
通用矩陣運算式A、X、B：
\(A=\begin{pmatrix} 30 & -20 \\ -20 & 50 \end{pmatrix}\), \(X=\begin{pmatrix} i_1 \\ i_2 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}\)
-
求A的矩陣方程：
\(det(A)=30×50-(-20)×(-20)=1500-400=1100\)
-
求A的逆矩陣（2×2較為容易）：
\(A^{-1}=\displaystyle\frac{ 1 }{1100} \begin{pmatrix} 50 & 20 \\ 20 & 30 \end{pmatrix}\)
-
計算X=A−1B
\(i_1≈0.23A, i_2≈0.091A\)
結果與之前求得的解一致。
三電路以上的網目分析法
對於具有特定共有元件和電壓源的三電路，會生成一個可求解i1、i2、i3的矩陣方程式。由此求出電路中任意支路的電流或電壓降。
對於大規模或複雜的電路，使用電路模擬器等軟體（MATLAB和Python等）處理會更為簡便。可以根據具體情況選擇更優化的解法，如矩陣展開法或消元法等系統性的方法來求解。
交流電路中的拓展應用
只需將電阻R替換為複阻抗ZR=R，電感L替換為ZL=jωL，電容C替換為ZC=1/jωC，即可用相同的矩陣運算式來求解頻率回應。
超網目的概念
當電流源等電路元件位於兩個網目的邊界時，很難直接列寫出這些網目的KVL方程。在這種情況下，通常會採用超網目分析法。超網目是透過將兩個網目合併成一個避開電流源支路的大電路而形成的。當包含二極體和電晶體等非線性元件時，需利用在工作點線性化並每次更新電路矩陣直至收斂的方法（牛頓-拉夫遜法）等。
什麼是超網目
當電流源等元件位於兩個電路之間時，就會出現這種情況。由於施加在該電流源上的電壓降可能是未知的（不能透過簡單的歐姆定律關係直接給出），因此需暫時將兩個網目視為一個不包含電流源支路的擴展電路，並圍繞這個大閉合路徑應用KVL。同時，補充一個與已知電流源IS值相關的約束方程（示例中為IS=i1–i2），從而求解未知電流。同樣的思路可進一步擴展到多個電流源或受控電流源中。當因圖示的需要而將其中一個網目電流繪製成逆時針方向時，運算式可能呈現為i1+i2=IS，但如果將i2的方向統一後重新列寫，該式將與i1–i2=±IS完全等價。
超網目的應用示例
假想網目1和網目2之間存在電流源IS的情況，並定義網目電流i1和i2。跳過電流源支路，創建一個合併了電路1和電路2的超網目。針對這個超網目列寫一個KVL方程，並利用兩個網目電流的差值等於IS這一關係，由此即可獲得求解i1和i2所需的聯立方程式。
含受控源電路中的應用
網目分析法並不僅限於純電阻電路或基於電壓源的電路。只要電路保持平面結構，或者能夠運用超網目的概念進行處理，該方法也可適用於含獨立電流源、受控電壓源及受控電流源的電路。
獨立電流源
當獨立電流源完全位於電路內部時，改用節點分析法或採用其他方法處理該電路可能更為便捷。當電源被兩個網目共有時，通常需要採用超網目分析法，或者也可以考慮能否透過節點分析法來減少未知量的數量。最終根據未知的網目電流數量、電路方程的數量以及所需獨立方程的數量來決定。
受控源
受控源有四種類型：電壓控制電壓源（VCVS）、電流控制電壓源（CCVS）、電壓控制電流源（VCCS）、電流控制電流源（CCCS）。在任何情況下，其輸出都取決於電路中其他位置測量到的電壓或電流。
- VCVS和CCVS（受控電壓源）：在電路方程中補充α×ix或β×vx
- VCCS和CCCS（受控電流源）：補充超網目或控制變數方程
這些關係需要明確地引入到聯立方程式或矩陣形式中。這種方法雖然有效，但要注意符號規則和控制變數。
與節點分析法的比較
網目電流分析和節點分析法經常會引發這樣的疑問：“在什麼情況下應該選用哪種方法？”。
節點分析法基於克希荷夫電流定律（KCL）來設定未知的節點電壓，而網目分析法則基於克希荷夫電壓定律（KVL）來設定未知的電路電流。
對於相同複雜度的電路，求解網目電流方程通常比節點電壓法所需的方程數量少。尤其是在電壓源分佈廣泛且電路佈局規整的平面電路情況下。
電源的類型、分佈情況和判斷標準
| 視角 | 網目分析法 | 節點分析法 |
|---|---|---|
| 基礎定律 | KVL | KCL |
| 未知變數變少的典型情況 | 含多個電壓源的平面電路 | 含多個電流源的電路、非平面電路 |
| 難以應用的情況 | 非平面電路、含多個分佈電流源 | 電壓源串聯連接較複雜的電路 |
- 電壓源較多且為平面電路 → 宜採用網目分析法
- 電流源分佈廣泛或非平面電路 → 宜採用節點分析法
這些指導原則並不是絕對的，選擇網目分析法還是節點分析法時，需要比較兩種方法各自需要求解的未知量數量、電壓源和電流源的分佈情況以及電路是否為平面電路，從而確定更優化的方法。
總結
網目分析法特別適用於導線互不交叉的平面電路，在以電壓源為主的電路中，往往能夠減少未知量的數量。採用矩陣形式後，即使是規模龐大或結構複雜的電路也能進行系統性地求解。另一方面，對於含多個電流源的電路或非平面電路，採用節點分析法等其他方法更為合適。透過同時掌握網目分析法和節點分析法，可以大大拓寬從基礎理論的學習到實際設計與模擬中電路分析的選擇範圍。
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