什麼是Δ-Y變換（Y-Δ變換）

Δ-Y變換（或Y-Δ變換）是一種可以簡化包括三相電路在內的複雜電阻和阻抗網路，並實現順暢分析的基礎技術。顧名思義，透過三角形（Delta，Δ）接法與星形（Star, Y）接法的等效互換，使得Δ-Y變換（或Y-Δ變換）能夠更簡單地進行串並聯組合及電壓電流計算。

三相交流電主要廣泛應用於工業設備和商用設備領域，根據負載側電路採用Δ接法或Y接法的不同，其電壓和電流的處理方式存在顯著差異。掌握Δ-Y變換（Y-Δ變換）的基礎知識，對於在負載設計和故障排查中“輕鬆把握端子間的等效電阻”、“整理不平衡負載”等需求大有助益。

Δ-Y變換（Y-Δ變換）基礎

節點標註和典型電路圖

• 典型標註示例
  • 大多情況下，三角形（Δ形電路）的頂點標註為A、B、C。這是因為按字母順序排列會便於理解且不易混淆。
• 節點數量的差異
  • Δ形電路由A–B–C共3個節點構成。
  • Y形電路除A-B-C外還包括中心節點O，由4個節點構成。
  • 有時也會採用連接至一個節點（如接地等）的繪製方法。

Δ形電路和Y形電路的結構

• Δ形電路（Delta電路）
  設三個端子分別為A、B、C，各邊（R₁：A–B，R₂：B–C，R₃：C–A）上存在電阻或阻抗，構成三角形電路。

• Y形電路（星形電路）
  設一個中心點O，從中心點分別向端子A、B、C延伸支路（R_a：O-A，R_b：O-B，R_c：O-C），形成星形結構。

無論是哪種結構，都經常涉及到三相負載和電阻網路分析。

• 注意事項
  • 如果將電阻R₁定義為A-B之間的元件，那麼也需要在電路圖中將R₁置於A-B之間，以確保文件與圖紙的一致性。
  • 即使將電路旋轉或翻轉，只要節點連接未被破壞，仍視為等效電路。
  • 由於節點會隨電路方向發生變化，因此節點間的最終連接是否正確至關重要。

Δ→Y變換與Y→Δ變換的基本公式

• ΔΔ→Y變換
  \(R_a=\displaystyle\frac{R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3}, R_b=\displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2+R_3}, R_c=\displaystyle\frac{R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}\)

• Y→Δ變換
  \(R_1=R_a+R_b+\displaystyle\frac{R_a R_b}{R_c} , R_2=R_b+R_c+\displaystyle\frac{R_b R_c}{R_a} , R_3=R_c+R_a+\displaystyle\frac{R_c R_a}{R_b}\)

這些公式可根據“變換前後端子A-B、B-C、C-A各自的等效電阻保持相同”的條件推導得出。關鍵在於即使使用阻抗替代電阻，其形式依然保持不變。

透過具體實例瞭解Δ-Y變換（Y-Δ變換）

Δ→Y變換示例

設Δ形電路的電阻為

\(R_1=30Ω, R_2=60Ω, R_3=90Ω\)

那麼

\(R_a=\displaystyle\frac{R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3}=\displaystyle\frac{30×90}{180}=15Ω,\)

\(R_b=\displaystyle\frac{R_1 R_2}{R_1+R_2+R_3}=\displaystyle\frac{30×60}{180}=10Ω,\)

\(R_c=\displaystyle\frac{R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}=\displaystyle\frac{60×90}{180}=30Ω\)

因此，Y形電路中的各電阻值為（R_a、R_b、R_c）=（15Ω、10Ω、30Ω）。

Y→Δ變換示例

設Y形電路的電阻為

\(R_a=5Ω, R_b=10Ω, R_c=20Ω\)

那麼

\(R_1=5+10+\displaystyle\frac{5×10}{20}=17.5Ω, R_2=10+20+\displaystyle\frac{10×20}{5}=70Ω,\)

\(R_3=20+5+\displaystyle\frac{20×5}{10}=35Ω\)

因此，Δ形電路中的各電阻值為（R₁、R₂、R₃）=（17.5Ω、70Ω、35Ω）。

Δ-Y變換（Y-Δ變換）公式推導過程

Δ-Y變換中串聯電阻和並聯電阻的識別

1. 串聯電阻（Series Combination）
   • 當兩個電阻共用僅一個節點，而另一端分別與不同節點連接時，可視為串聯關係。
   • 串聯關係下的合成電阻R_series=R_a+R_b
   • 例如，在Δ形電路中觀察A–B之間，呈現R₂與R₃串聯、R₁與它們並聯的關係。
2. 並聯電阻（Parallel Combination）
   • 若兩個電阻共用兩端，則為並聯關係。
   • 合成電阻為1/R_parallel=1/R_a+1/R_b
   • 關於前面提到的A-B之間，則是R₂+R₃串聯→R₁與其並聯的連接關係，這是兩者的基本的區分。
3. 重溫歐姆定律（Ohm’s Law）
   • V=I×R是電阻電路的基本公式。
   • 利用串聯電路中電流處處相等、並聯電路中電壓處處相等的特性，即可求出Δ-Y變換的基礎——等效電阻。
4. 由單一電阻（single resistor）替代
   • 透過反復進行串聯和並聯計算，最終可將“端子間的電阻”整合為一個阻值。
   • Δ-Y變換可以說是一種在三相電路中系統化實現這種等效電阻轉換的技術。

從Δ到Y的變換公式推導

實際推導過程需建立“使Δ形電路側、Y形電路側的A-B間等效電阻一致“、“B-C間、C-A間同理”這三個方程。

下面將更詳細地推導將三角形接法的電阻（R₁、R₂、R₃）轉換為星形接法（R_a、R_b、R_c）的轉換公式。設三角形電路的頂點為A、B、C，各邊的電阻分別為R₁（A-B）、R₂（B-C）、R₃（C-A）。另外，在轉換目標星形電路中，設從中心點O到A的電阻為R_a，從O到B的電阻為R_b，從O到C的電阻為R_c。轉換的基本方針是施加“端子A-B、B-C、C-A之間所見的等效電阻在Δ形電路和Y形電路中均相同”這一條件。

1. Δ形電路中A–B間等效電阻
   設端子A-B間所見的等效電阻為R_AB。由於R₂和R₃為串聯連接，故將該電阻記為R₂₃。R_AB是R₁和R₂₃的並聯連接。
   \(R_{23} =R_2+R_3\)
   \(R_{AB} = \displaystyle\frac{R_1 R_{23}}{R_1+R_{23}} = \displaystyle\frac{R_1 (R_2+R_3)}{R_1+(R_2+R_3)} = \displaystyle\frac{R_1 R_2+R_3 R_1}{R_1+R_2+R_3}\)
2. Y形電路中A-B間等效電阻
   設端子A-B間所見的等效電阻為R_AB。由於R_a和R_b為串聯連接，所以得到如下公式：
   \(R_{AB} = R_a+R_b\)
   透過運用克希荷夫定律（KVL、KCL）建立聯立方程求解A-B間的等效電阻，最終會得到一個條件方程：“（端子A-B間的等效電阻）=（Δ形電路側的A-B間等效電阻）”。
   \(R_a+R_b=\displaystyle\frac{R_1 R_2+R_3 R_1}{R_1+R_2+R_3}\)
3. 端子B–C間、C–A間亦同法操作
   端子B–C間、C–A間也按照同樣的步驟，透過建立並求解三個聯立方程，使Δ形電路與Y形電路各端子間的等效電阻一致。
   \(R_b+R_c=\displaystyle\frac{R_1 R_2+R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}\)
   \(R_c+R_a=\displaystyle\frac{R_3 R_1+R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}\)
4. R_a、R_b、R_c的求解
   將A-B間、B-C間、C-A間的等效電阻分別相加：
   \(2(R_a+R_b+R_c) = \displaystyle\frac{2(R_1 R_2+R_2 R_3+R_3 R_1)}{R_1+R_2+R_3}\)
   \(R_a+R_b+R_c=\displaystyle\frac{R_1 R_2+R_2 R_3+R_3 R_1}{R_1+R_2+R_3}\)
   要求得R_a，可推導出如下基本公式。同樣可以計算出R_b和R_c。
   \(R_a=\displaystyle\frac{R_1 R_2+R_2 R_3+R_3 R_1}{R_1+R_2+R_3}-(R_b+R_c)\)
   \(= \displaystyle\frac{R_1 R_2+R_2 R_3+R_3 R_1}{R_1+R_2+R_3} – \left(\displaystyle\frac{R_1 R_2+R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}\right) = \displaystyle\frac{R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3}\)

從Y到Δ的變換公式推導

從Y到Δ的轉換與從Δ到Y的轉換遵循相同的原則。將Y形電路的R_a、R_b、R_c轉換為Δ形電路的R₁、R₂、R₃時，需建立使端子A-B間、B-C間、C-A間的等效電阻相等的條件。

基於克希荷夫定律建立聯立方程，求解端子A-B間、B-C間及C-A間的電阻。

Δ-Y變換（Y-Δ變換）的應用

在實際的電路分析中，Δ-Y（或Y-Δ）變換在電阻網路無法透過串聯或並聯組合簡化時尤為實用。這種情況常見於橋接網路、不平衡三相負載，或兩個節點間無直接連接電阻的複雜黑箱部分。透過在合適的點應用Δ-Y變換，工程師能夠將複雜的拓撲簡化為更簡單的形式，從而便於運用歐姆定律和克希荷夫定律等傳統方法計算電流、電壓或功率。即使是在可以使用模擬工具的情況下，這種變換方法仍是設計評審和故障分析時解讀電路行為、進行電路簡化的重要手段。

對平衡負載和不平衡負載應用Δ-Y變換（Y-Δ變換）

當三相電路中的負載電阻（或阻抗）像R₁=R₂=R₃一樣完全相等時，稱為“平衡負載”。此時無論是Δ連接還是Y連接，分析都相對簡單，但在實際的系統中，往往會出現一定程度的不平衡。

• 不平衡負載狀態下，各相的電阻或電抗不同，可能導致線電流和相電壓出現不平衡現象。
• 透過Δ-Y變換適當整合這種電路，便於量化不平衡程度，有利於在故障排查中發現電路設計缺陷和電流偏移等問題。

阻抗（複數）的Δ-Y變換（Y-Δ變換）

Δ-Y變換同樣適用於將電阻R替換為包含電感和電容的阻抗Z=R+jX。

\(Z_a=\displaystyle\frac{Z_1 Z_3}{Z_1+Z_2+Z_3},…\)

三相交流電路中實際上往往包含電感和電容的電抗，採用複數表示方式可分析相位差乃至無功功率。

Δ-Y變換（Y-Δ變換）在三相交流電路中的應用

線電壓和相電壓的關係整理

在三相交流電路中，連接方式不同使得相電壓和線電壓之間的關係也不同。

• Δ接法中，各電阻直接連接線電壓V_L：
  \(V_ϕ=V_L\)
• Y接法中，施加於各電阻（阻抗）的電壓為相電壓V_ϕ，與線電壓V_L的關係為：
  \(V_ϕ=\displaystyle\frac{V_L}{√3}\)

相電流與線電流的對應關係也不同。

• Δ接法：
  \(I_ϕ=\displaystyle\frac{I_L}{√3}\)
• Y接法：
  \(I_ϕ=I_L\)

由於Δ形接法和Y形接法的電壓、電流大小關係不同，因此即使負載相同，接法不同也會使電源側的電流值發生變化。透過深入瞭解相關的三相交流基礎知識，將會使Δ-Y變換的意義更加明晰。

與星-三角啟動和三相變壓器的關聯

• 星-三角啟動
  多數三相馬達採用“僅啟動時採用Y形連接，穩態運行時切換為Δ形連接”的方案。其設計目的在於透過降低啟動時的相電壓來抑制大電流，當馬達開始旋轉後切換至全電壓驅動（Δ連接），從而實現高效率運轉。
  這部分內容雖然與Δ-Y變換公式本身不同，但要想正確瞭解“Y連接時和Δ連接時，端子間的電壓和電流如何變化”，Δ-Y關係作為基礎知識非常重要。
• 三相變壓器
  透過對繞組進行Δ-Δ、Y-Y或Δ-Y等不同方式的連接，可調整線電壓與相電壓的變換比值。在變壓器接線中，Δ-Y變換的思路具有實際應用價值，有助於瞭解“Δ形和Y形的區別”。

（參考）多電源電路與疊加定理

應用疊加定理對含多個獨立電源的電路進行分析時，透過將電路簡化為“僅保留一個電源，其餘電源短路或開路“的形式，最終再將各簡化電路的分析結果進行疊加。

• 與Δ-Y變換聯用：
  • 當電源較多使得電路很複雜時，可先禁用部分電源將電路簡化，在此基礎上進行Δ-Y變換，將更易於進行電阻/阻抗的合成。
  • 透過將“各電源單獨作用時的電流、電壓”結果相加，最終可掌握多電源同時作用時的情況。
• 實際應用時的注意事項：
  • 在直流電源和交流電源共存的電路中，相位和平均值等參數的處理有時會比較複雜。在三相交流電路中存在相位差（120°）或諧波分量時，需要結合複數和傅立葉分析方法進行處理。

關於疊加定理的詳細介紹，請參閱“什麼是疊加定理”一文。

總結

1. Δ-Y變換（Y-Δ變換）是三相電路及電阻網路的基礎技術
   • 透過將三角形連接（Δ）的三個電阻（阻抗）轉換為星形連接（Y），或相反的轉換，可在保持端子間等效電阻的同時簡化電路。
2. 其公式無論對電阻（R）還是阻抗（Z）均可透過相同的形式適用
   • 在三相交流電路中，由於經常出現電抗，通常採用複數表示方式。可將公式中的R直接改為Z。
3. 無論對平衡負載還是不平衡負載，皆可輕鬆應用
   • 在三相交流電路中，區分使用線電壓V_L和相電壓V_ϕ，對於負載不平衡時的故障分析至關重要。
4. 在實際應用中，與馬達的星-三角啟動和三相變壓器接線方式的關聯很重要
   • 啟動時Y形連接、穩態運行時切換為Δ形連接的三相馬達，正是巧妙運用Δ-Y電路的電壓電流差異的典型範例。
5. 與其他電路分析方法（如疊加定理）結合適用，其作用更大
   • 透過整理多電源的影響，並運用Δ-Y變換簡化部分電路，可使複雜的系統分析變得更加順暢。

當企業的技術人員在進行電源設計或設備維修等涉及三相交流電的作業時，若已經掌握Δ-Y變換的基礎知識，分析效率將會顯著提高。無論是平衡負載還是不平衡負載，均可準確捕捉電路端子間的等效變換關係。